mit drei Leuten plus Kamerafrau. Es geht weiter mit Adjunktionen, also sind noch so

ein paar Beispiele offen und dann brauchen wir noch diese diese Homme-Mengen-Karakterisierung

von adjungierten Situationen. Die hatte ich schon mal angekündigt und die sollte ich

dann besser auch mal beweisen. Also so einen Typ von Beispielen hatten wir beim letzten

Mal gegen Ende nochmal aufgesammelt. Das waren die freien Konstruktionen und also der Typ

zwei von Beispielen von Adjunktionen, Beispiele von Adjunktionen, die könnte man vielleicht

so informell mit Objektverbesserungen überschreiben. Davon haben wir auch schon ein paar gesehen.

Manche fallen auch, das ist nicht so eine ganz klare Einteilung, manche sind auch irgendwie

beides. Also zum Beispiel, wenn man jetzt hier anguckt, was wir mit CPOs gemacht hatten.

Also ich nehme den Einbettungsfunktor von der Kategorie der CPOs nach Pulsats mit kleinstem

Element und Monotonen-Abbildung, nicht notwendig strikt. Dann hatten wir ja diesen im Prinzip

diesen universellen Pfeil, also links adjungierten F dazu, zu diesem E, also das ist wirklich

ein Einbettungsfunktor hier, der, wobei das F jetzt also auf einem Pulsat mit Bottom,

also x kleiner gleich, diesen freien CPU machte. Das waren also irgendwie aufsteigende

Ketten in x Modulo, irgendeine Äquivalenzrelation, also hier freier CPU auf x und dann diese

Ordnung, die so gemacht war, dass für jedes Element in der einen gibt es eins, in der

anderen Kette das oben drüber liegt. Also da müsste man sich jetzt dran erinnern. Das

ist aber hier auch so eine Objektverbesserungsadjunktion und in der Hausaufgabe hat man dann die Variante

gesehen, wo hier DCPO steht und hier kann man dann sogar POS nehmen, also ohne kleinstes

Element. Das ist auch sozusagen eine Variation davon. Oder was in der Hausaufgabe war, Symmetrisierung

von Graphen. Ich schreibe einfach mal Sympunkt von Graphen. Das noch mal kurz zur Erinnerung,

da haben wir halt also die Kategorie der symmetrischen Graphen. Oder wenn man will, das ist, was

ist ein symmetrischer Graph? Das ist eine Menge mit einer symmetrischen Relation drauf. Was

ist ein Graph? Also hier ist ein Einbettungsfunktur wieder, das ist halt eine Menge mit einer

Relation drauf. Das ist nichts anderes, das ist ein gerichteter Graph. Und hier habe ich

halt eine Menge mit einer symmetrischen Relation. Die kann ich natürlich als normale Relation

betrachten. Und der links adjungierte hierzu, der macht also auf Objekten nichts anderes,

als dass er sagt, ich symmetrisiere diese Relation, indem ich E vereinigt E ob nehme.

Wieder eine Variante davon ist, wenn man jetzt zum Beispiel Äquivalenzrelationen nimmt.

Also dann ist es vielleicht nicht mehr so eine gute Idee, sich das als Graphen vorzustellen,

sondern wirklich als relationale Strukturen. Hier habe ich einfach eine Menge mit einer

binären Relation. Hier habe ich dann eine Menge mit einer Äquivalenzrelation da drauf.

Und der links adjungierte würde die kleinste Äquivalenz, die von einer Relation gegeben

wird, formen. Schauen wir das hier nochmal hin. Das ist dann vielleicht 2b-Strich. Oder

nehmen wir es ruhig 2c. Also dann nehme ich die Einbettung von Äquivalenzrelationen nach

betrachten. Die Objekte hier in dieser Kategorie sind eine Menge und eine Äquivalenzrelation

auf dieser Menge. Das wird hier auf dasselbe abgebildet, also eine Menge mit dieser Relation.

Also ist es ein Graph? So, und die Frage ist jetzt natürlich, was macht der links adjungierte

dazu? Der nimmt jetzt Menge und normale Relation. Das R hier ist einfach x Kreuz x, also eine

halbe Menge von x Kreuz x, nicht notwendig eine Äquivalenz. Und der links adjungierte

ist ja sowas wie das kleinste. Also wenn man es mit Algebren vergleicht, dann würde man

auch sagen, ich habe eine Generatormenge und mache dann so klein wie möglich eine Algebra

draus. Hier habe ich halt die Relation und mache so klein wie möglich eine Äquivalenzrelation

da draus. Da gibt es auch eine Konstruktion, genau, die kann ich auch nochmal kurz wiederholen.

Die ist nämlich sehr einfach. Die macht die erstmal symmetrisch und dann nimmt man diese

reflexive transitive Hülle. Die ist mit dabei, weil der Stern ist, also wenn ich irgendeine

Relation S Stern nehme, dann ist damit gemeint, dass die Vereinigung von n gleich 0 bis unendlich

von S hoch n und das ist diese Potenz 0 ist dann Identitätsrelation 1 ist S selber, 2

ist S mit S verknüpft und so weiter. Genau und das ist also hier die kleinste Äquivalenzrelation

auf x. Ja, das benutzt man dann in der Mathematik oft einfach so ganz nonchalant, dass man sagt,